miércoles, 28 de marzo de 2012

Cónica oblicua del cubo por 4 métodos

Cónica del cubo por trazas y fugas - GeoGebra Hoja Dinámica
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Cónica del cubo por trazas y fugas




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Para construir la perspectiva cónica por el método de las trazas y las fugas, dibujamos en planta el cubo DEFG junto con el plano del cuadro PC y el punto de vista M, que es lo que parece en la parte inferior (esto es lo que aparece en planta tal y como se ve desde arriba).
Prolongamos los lados del cubo hasta que cortan al plano del cuadro en los puntos IJKL, estos puntos son las trazas de las rectas. Subimos estas trazas hasta la línea de tierra que es una línea paralela a la línea del horizonte, es en realidad donde aparece representada la perspectiva de la figura, obteniendo de esta forma los puntos PQRS.
Hacemos por el punto de vista M dos rectas paralelas MO MN a las aristas de la cara de la figura en planta y obtenemos la dirección de las líneas a representar en perspectiva. Estas dos direcciones por el punto de vista definen en la intersección con el plano de cuatro PC en planta los puntos de fuga N O, puntos que se llevan siempre a la línea del horizonte LH, en la parte superior del dibujo, obteniendo de esta forma los puntos T U.
 Si ahora unimos las trazas de la línea de tierra PQRS con los puntos de fuga T U que acabamos de tener tenemos la perspectiva de cada una de las líneas de la base del cubo, para obtener la cara superior y las laterales, trasladamos la longitud de la arista de la  base EF, (que por ser un cubo van a ser iguales a las alturas) , hasta el plano del cuadro obteniendo los puntos L-B1 y a continuación giramos esta dimensión hasta obtenerla en verdadera magnitud L-C1 para trasladarla a la línea de tierra S-D1. Haciendo un giro la convertimos en una línea vertical E1-S que proyectamos hasta el punto de fuga T. Por los vértices de la base A V del cubo hacemos verticales y donde cortan a ésta recta obtenemos los puntos superiores de la cara del cuadrado F1 I1. Si por el punto de fuga U trazamos dos rectas que pasen asimismo por estos puntos obtenemos en la intersección de las verticales que pasan por los puntos de la base WZ los puntos H1 G1. Estos últimos cuatro puntos calculados corresponden a la cara superior del cubo.

Si tenemos la base del cubo y la cara superior ya tenemos la figura completa, podemos mover los puntos que están en color azul para ver las distintas posiciones del punto de vista, del plano del cuadro, las distintas dimensiones de la base del cubo, las distintas longitudes entre la línea de tierra y la línea del horizonte, etc.
De la misma forma podemos reproducir toda la figura dándole el tiempo que queramos a los distintos pasos, para ver la construcción de una forma ordenada, para ello pulsaremos en el botón que pone reproducir, en el borde inferior derecho.
Estos dos pasos podremos ejecutarlos en las siguientes figuras que aparecen a continuación.



Cónica del cubo por puntos métricos




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Para construir la perspectiva del cubo por el método de los puntos métricos, dibujamos por encima de la línea del horizonte LH la dirección de dos aristas del cubo VA VB, como forman 90° entre ellas, los puntos de fuga BA y el punto de vista V están comprendidos en una semicircunferencia según el teorema de Thales.
Hacemos centro en el punto de fuga B y con la distancia del punto de fuga al punto de vista V hacemos un arco que corta a la línea del horizonte en un punto métrico I. procedemos de igual forma con el otro punto de fuga A, haciendo centro sobre él y tomando como radio la distancia desde este punto hasta el punto de vista hacemos otro arco hasta que cortan la línea del horizonte en el punto J. Estos  son los puntos métricos que sirven para obtener todas las medidas de la figura en perspectiva sobre la línea de tierra.
Si colocamos la figura tomando un vértice de la misma en el punto L, por ejemplo, alineamos el punto métrico I con este punto según la recta IL y tenemos que esta corta a la línea de tierra en el punto D, a partir de este punto dibujamos el segmento DE en verdadera magnitud, unimos entonces el punto final E con el punto métrico I obteniendo en la intersección con la línea que va desde el punto L hasta el punto de fuga B el punto H. ahora sabemos que LH mide en la realidad la longitud DE.
Operamos de igual forma con el otro punto métrico, alineamos J con L Y en su prolongación corta a la línea de tierra según el punto K, a partir de este punto hemos trasladado y girado la dimensión de la arista del cubo y la hemos colocado sobre la línea de tierra, es la que aparece dibujada como NK. Uniendo ahora el punto N con J obtenemos en la intersección con la recta que va al punto de fuga A desde L el punto O.
Si tenemos las aristas LH y LO, hacemos una línea que va desde H hasta el punto de fuga A y una línea que va desde O hasta el punto de fuga B obteniendo de esta manera el punto P. Dibujamos las aristas verticales y para obtener la verdadera dimensión de éstas sobre la perspectiva, a partir de D dibujamos la arista SD vertical, por DL va una recta hasta el horizonte cortándose en el punto métrico I, en consecuencia si unimos este punto con S obtenemos en la intersección con la vertical el punto Q. si tenemos una arista vertical QL definida ya sobre la perspectiva, hacemos una recta comprendida entre el punto Q y el punto de fuga B y otra recta comprendida entre el punto Q y el otro punto de fuga A obteniendo en intersección con las verticales que pasan por los puntos O H los puntos TU. De igual forma si desde estos dos puntos hacemos dos líneas que vayan hacia los dos puntos de fuga AB, se cortan en  W piquera sobre la vertical que pasa por P.





Cónica del cubo por abatimiento




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Para construir la perspectiva del cubo por el método del abatimiento o por homología, ya que la base de la figura y la planta de la misma son homólogas, se dibuja la línea de tierra BM y la línea de horizonte OC paralelas, por encima de la línea de horizonte dibujamos el punto de vista D y por debajo de la línea de tierra dibujamos la planta de la figura que en este caso es un cuadrado FGHI. Prolongamos los lados del cuadrado o aristas de la figura hasta que cortan a la línea de tierra según los puntos PKLM, estos puntos son las trazas de las rectas.
Hacemos por el punto de vista D rectas paralelas a las últimas cuatro que acabamos de hacer obteniendo en la intersección con la línea de horizonte los puntos NO.
Uniendo los puntos de fuga con las trazas correspondientes, esto quiere decir los que son paralelos, obtenemos cuatro líneas PO KO LN MN que definen la perspectiva del cuadrado de la base QTSR.
Para obtener la altura de las figuras trasladamos la arista de la base FI hasta la línea de tierra obteniendo el segmento UK, mediante un giro lo convertimos en vertical VK y  unimos el vértice superior V CON el punto de fuga O obteniendo en la intersección de las dos verticales por los puntos de la base SR los puntos WZ.
Si por estos: hacemos dos líneas que fuguen hacia N tenemos que la recta NW cortada vertical por Q según el punto A1 mientras que la recta ZN cortada vertical por  T según el punto B1, de esta forma hemos obtenido la cara superior que está unida a la inferior mediante líneas verticales.
Si alineamos el punto de vista D con un punto de la perspectiva R tenemos que siempre está alineado con el punto de la planta correspondiente H, este dato facilita mucho la ejecución de dibujos teniendo rápidamente los puntos sin necesidad estar haciendo paralelas.

Esta perspectiva tiene el inconveniente de que la figura sale al revés, eso quiere decir que si en la perspectiva del punto más cercano de la base es S, sobre la planta su punto correspondiente homólogo es el punto I, esto quiere decir que si surge este punto hubiera por ejemplo una puerta siendo el prisma una casa, en la planta la puerta estaría sobre I.



Cónica_del_cubo_método_directo - GeoGebra Hoja Dinámica





Cónica del cubo por el método directo




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Para construir la perspectiva del cubo por el método directo, dibujamos la planta de lo que va a ser toda la perspectiva, esto es la figura en planta EFIG, el plano del cuadro Q visto desde arriba y el punto de vista E1 con su posición exacta respecto a esos dos elementos. Dibujamos también el perfil marcando la posición exacta de la figura con su distancia al plano del cuadro (línea vertical de color magenta) y su correspondiente distancia en el perfil al punto de vista H1.
Unimos cada uno de los puntos de la planta de la figura, en este caso los vértices de la misma, con el punto de vista obteniendo en la intersección de estas líneas con el plano del cuadro I1 J1 K1 L1  cuatro puntos por los que hacemos verticales (en color verde, amarillo, azul y rojo). En el perfil hacemos exactamente lo mismo, unimos los puntos correspondientes a la planta POMN con el punto de vista H1 y obtenemos unos puntos de intersección con el plano del cuadro P1 O1 M1 N1 por los que hacemos horizontales, en los puntos correspondientes a la cara superior también hacemos lo mismo, los unimos con el punto de vista y en la intersección de estas líneas con el plano del cuadro obtenemos otros puntos por los que hacemos líneas horizontales.
La intersección de las ocho líneas horizontales y las cuatro verticales nos determinan los ocho puntos correspondientes a los vértices del cubo, los de la base nos definen la perspectiva de la base del cubo Q1 T1 S1 R1 y los de la cara superior  sus correspondientes B2 V1 D2 Z1.



P. cónica de pirámide - GeoGebra Hoja Dinámica






P. cónica de pirámide



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Perspectiva cónica de una pirámide recta de base pentagonal regular

Construimos la pirámide en planta, un pentágono regular cuyos vértices HDGEF y punto central L1 proyectamos perpendicularmente sobre el plano del cuadro PC (en color a azul). Por este procedimiento obtenemos J, V ,O1, G2, V1, F2.
Estos puntos los subimos mediante perpendiculares a la línea de tierra LT (en color amarillo), obteniendo los puntos L, K ,T1, N, M, O. Todos estos puntos los unimos con el punto principal P, que se obtiene haciendo por el punto de vista PV una recta paralela a las ortogonales anteriores. El punto principal P es la intersección de esta recta ortogonal por el punto de vista PV con la línea de horizonte.
Construimos un conjunto de líneas (discontinuas en el dibujo) que pasen por cada uno de los vértices del pentágono en planta. Para obtener la perspectiva de estas líneas hacemos por el punto de vista PV una recta paralela a ellas obteniendo en la intersección con el plano del cuadro en planta el punto de fuga (en color naranja) de estas rectas.
Si subimos las trazas A, T, M1, Q, S, R de las rectas a la línea de tierra y el punto de fuga a la línea del horizonte (punto de fuga’ en color verde) obtenemos la perspectiva de todas estas líneas (B- fuga’, D1- fuga’, P1- fuga, etc.) que en la intersección con las perspectivas de las perpendiculares (L-P, K,T, T1-P, etc.) al plano del cuadro tenemos rápidamente la perspectiva de todos los puntos del pentágono (I1, E1, H1,G1, F1).
A partir de T1 (proyección ortogonal del centro del pentágono sobre el plano del cuadro y la línea de tierra) colocamos en una vertical la altura T1-D2 de la figura, uniendo los extremos del segmento con el punto principal tenemos la perspectiva del eje vertical C2-E2 de la figura en la intersección de D2-P y T1-P con la vertical por la perspectiva C2 del centro L1 de la figura.